NUMEROS ALEATORIOS

ORIGEN

Hace tiempo, alrededor del año 3500 a.C., en Egipto y en otros diversos lugares los juegos de azar eran practicados con objetos de hueso, se dice que estos fueron los predecesores  de lo dados, a partir de este hecho se le empezó a dar importancia a las probabilidades.

Inicialmente las probabilidades numéricas para ciertas combinaciones de dados fueron calculadas por Giordamo Cardano y Galileo Galilei en los años 1500, pero fue solo hasta el siglo XVII cuando el francés Antoine Gombauld (1607-1484) se interesó en la teoría de las probabilidades y formuló preguntas a Blaise Pascal tales como: “¿Cuáles son las probabilidades de que salgan dos seises por lo menos una vez en veinticuatro lanzamientos de un par de dados?”, en respuesta a esto Pascal aceptó resolver el problema mientras que Gombauld desarrollaba sus teorías y dio a luz el fundamento matemático del éxito y del fracaso en las mesas de juegos.

En el siglo XIX, Pierre Simón unificó las fórmulas y técnicas de probabilidad desarrolladas por Jacob Bernoulli, Abraham de Moivre y el reverendo Thomas Bayes, formulando así la primera teoría general de la probabilidad, la cual se implementó inicialmente a los juegos de azar. A partir de este hecho la teoría de la probabilidad ha sido desarrollada a lo largo del siglo XVII, siendo aplicada a diversos campos tales como la ingeniería, administración, entre otros.

Luego de haber sido desarrolladas teorías de probabilidad, en la década de los cuarenta surgen los números aleatorios y pueden ser nombrados pioneros Jon Von Neumann, Metropolis, Ulam y Lehmer. Esta inició con el método llamado Simulación de Montecarlo la cual originalmente fue implementada por Neumann y Ulam, utilizando ruletas y dados, a partir de esta teoría, hoy en día, se emplean los números aleatorios generados por computador los cuales inicialemente eran generados por dispositivos físicos, pero gracias avances que ha habido a través del tiempo es posible generar u obtener números aleatorios por otros medios, ejemplo de esto se encuentra la publicación de Kendall y Babington-Smith en 1939 de 100.000 dígitos aleatorios obtenidos con un disco giratorio iluminados con una lámpara relámpago , o la de Rand Corporation en 1955 que superó esta publicación con un millón de dígitos producidos controlando una fuente de pulsos de frecuencia aleatoria.

Definición

Los números aleatorios son considerados como aquellos números que deben cumplir los requisitos de espacio equiprobable (Que existe un universo en el cual se estudia un fenómeno y la probabilidad de que ocurra es la misma para todo lo que interviene en él), es decir, que todo elemento tenga la misma probabilidad de ser elegidos y que la elección de uno no dependa de la elección del otro.

Fuente: GILAT, Amos. Matlab una introducción con ejemplos prácticos. Editorial Reverté. Pág 64-70.

Características

El procedimiento usado por una computadora para obtener números aleatorios se llama generador de números aleatorios:

Un generador de números aleatorios es un algoritmo que produce secuencias de números que siguen una distribución de probabilidad específica y tienen la apariencia de aleatoriedad.

Decir secuencias de números aleatorios significa que el algoritmo produce muchos números aleatorios en serie. Aunque un usuario individual puede requerir sólo unos cuantos, en general el algoritmo debe ser capaz de producir muchos. La distribución de probabilidad implica que se puede asociar una afirmación probabilística con la ocurrencia de cada número producido por el algoritmo.

Se reservará el término de número aleatorio para hablar de una observación aleatorio a partir de alguna distribución uniforme, de manera que todos los números posibles son igualmente probables. Cuando el interés se centra en alguna otra distribución de probabilidad, se habla de observaciones aleatorias a partir de esa distribución.

Los números aleatorios se pueden dividir en 2 categorías principales, números aleatorios enteros y números aleatorios uniformes, definidos como sigue:

Un número aleatorio entero es una observación aleatoria de una distribución uniforme discretizada sobre el intervalo n, n+1,……ñ. Las probabilidades para esta distribución son:

                              P(n) = P(n+1) = P (ñ) = 1/(ñ – n + 1)                

En general, n  = 0 o 1 y éstos son valores convenientes para la mayoría de las aplicaciones (si n tiene otro valor, entonces al restar ya sea n o bien n – 1  del número aleatorio entero cambia el límite inferior del intervalo a 0 o a 1).

Un número aleatorio uniforme es una observación aleatoria a partir de una distribución uniforme continua en un intervalo [a, b]. La función de densidad de probabilidad de esta distribución uniforme es:

Cuando a y b no se especifican se supone que a =0 y b=1.

Los números aleatorios generados en un inicio por una computadora casi siempre son números aleatorios enteros. Sin embargo, si se desea, se pueden convertir en números aleatorios uniformes como sigue:

Para un número aleatorio entero dado entre 0 y ñ, dividir este número entre ñ da aproximadamente un número aleatorio uniforme. (Si ñ es pequeño, esta aproximación debe mejorarse sumando ½ al número aleatorio entero y después dividiendo entre ñ+1).

Este es el método común que se usa para generar números aleatorios uniformes. Cuando se usan valores grandes de ñ, en esencia es un método exacto.

En el sentido escrito, los números generados por una computadora no se deben llamar números aleatorios porque son predecibles y se pueden reproducir (lo que a veces es una ventaja), dado el número aleatorio generador que se use. Entonces, en ocasiones se les llama números pseudoaleatorios. No obstante, el punto importante, es que en forma satisfactoria, hacen las veces de números aleatorios en la simulación si el método que se usa para generarlos es válido.

Se han propuesto varios procedimientos estadísticos bastante elaborados para probar si una sucesión de números generada tiene una apariencia de aleatoriedad aceptable. En esencia, los requisitos son que cada número sucesivo tenga una probabilidad igual de tomar cualquiera de los valores posibles y que sea estadísticamente independiente de los otros números de la sucesión.

Fuente: VLADIMIROVNA PANTELEEVA. Fundamentos de probabilidad y estadística. Primera edición. Año 2005. Pág 316-324.

Generación de Números Aleatorios

Métodos Lógicos: Entre estos se encuentran:

Método Congruencial: Se cuenta con varios generadores, de los cuales los más populares son los métodos congruenciales (aditivo, multiplicativo y mixto). El método congruencial mixto genera una sucesión de números aleatorios enteros en un intervalo de 0 a m-1. Éste método siempre calcula el siguiente número a partir del último que obtuvo, dado un número aleatorio inicial Xo, llamado semilla. En particular, calcula el (n + 1)-ésimo número aleatorio Xn+1 a partir del n-ésimo número aleatorio Xn con la relación de recurrencia.  

 

Donde a, c y m son enteros positivos (a < m, c < m). Ésta notación matemática significa que Xn+1 son 0, 1, …, M-1, de manera que m representa el número deseado de valores diferentes que se puede generar como números aleatorios.

A manera de ilustración, suponga que m=8, a=5, c=7 y Xo=4. En la siguiente tabla se calculó la sucesión de números aleatorios que se tuvo (esta sucesión no puede continuar, puesto que solo se repetirían los números en el mismo orden). Obsérvese que ésta sucesión incluye los ocho números posibles una sola vez. Ésta propiedad es necesaria para una sucesión de números aleatorios enteros, pero no ocurre con algunos valores de a y c.

 

 

La cantidad de números consecutivos en una sucesión antes de que se repita se conoce como longitud de ciclo. En consecuencia, la longitud de ciclo en el ejemplo es 8. La longitud de ciclo máxima es m, de manera que sólo los valores de a y c considerados son los que conducen a una longitud de ciclo máxima.

En la siguiente tabla, se ilustra la conversión de números aleatorios en números aleatorios uniformes. La columna de la izquierda proporciona los números aleatorios enteros que se obtuvo en la última columna de la tabla anterior. La última columna proporciona los números aleatorios uniformes correspondientes a partir de la fórmula:

   Número aleatorio uniforme = (Número aleatorio entero + ½) /m

El método congruencial multiplicativo corresponde al caso especial del método congruencial mixto en el que c =0. El método congruencial aditivo también es parecido, pero establece a =1 y sustituye a c por algún número aleatorio anterior a Xn en la sucesión, por ejemplo, Xn-1 (así requiere más de una semilla para iniciar el cálculo de la sucesión).

El método congruencial mixto proporciona una gran flexibilidad para elegir un generador de números aleatorios en particular (una combinación específica de a, c y m). Sin embargo, se requiere tener mucho cuidado al seleccionar el generador de números aleatorios porque la mayoría de las combinaciones de valores a, c y m conducen a propiedades indeseables (por ejemplo, una longitud de ciclo menor a m).

Ejemplos en Excel:

Utilizando el método congruencial mixto realice el histograma para los primeros 1000 números derivados de la semilla 9731, teniendo en cuenta que: A=2, C=7 y m=10000. También se pide hallar la moda, el promedio y la desviación estándar de los números.

Solución:

https://spreadsheets.google.com/ccc?key=tGdFLELTAVHRGztnTBG8XRQ&hl=en#gid=0

Utilizando el método congruencial multiplicativo encuentre los primeros 37 números derivados de la semilla 9731, teniendo en cuenta que A=2 y m=10000. También puede hallar la moda y el promedio teniendo en cuenta los resultados de los números.

Solución:

https://spreadsheets.google.com/ccc?key=tUVodA4Lie9ROM9PHv067Qg&hl=en#gid=0

Utilizando el método congruencial multiplicativo encuentre los primeros 38 números derivados de la semilla 9731, teniendo en cuenta que C=7 y m=10000. También puede hallar la moda y el promedio teniendo en cuenta los resultados de los números.

Solución:

https://spreadsheets.google.com/ccc?key=0AilsKpDaElF4dG04QWVOVF92N1FFbWhhb3RlYmZWeEE&hl=en#gid=0

Método de cuadrados medios: Fue  propuesto en la década de los 40 del siglo XX por Von Neumann y Metrópolis. Requiere un número entero detonador (llamado semilla) con D dígitos, el cual es elevado al cuadrado. Los pasos para generar números mediante cuadrados medios son:

1. Seleccionar una semilla (X₀).
2. Se eleva al cuadrado la semilla.
3. Se extrae  la cantidad de dígitos del centro que se deseen, y este será X_1.
4. Dividir X₁ entre 10000 y el resultado es el número aleatorio buscado.
5. Repetir desde el paso 2 siendo la semilla X₁ hasta obtener la cantidad de número aleatorios deseados.

Ejemplos:

a)      Tomemos como semilla X₀  a 263 y se tomaran los cuatro números del centro:

b)   Generar 3 números de 4 dígitos a partir de un generador de cuadrados medios utilizando la semilla 445.

(445)² = 198025 = 1 9802 5 à 0.9802

(9802)² = 96079204 = 96 0792 04 à 0.0792

(792)² = 627264 = 6 2726 4 à 0.2726                              

La función para generar números aleatorios en el sistema de Excel es:

R_i = RAND ()

Ejemplo: Se tiene la semilla (Xo) = 9852; halle los primeros 33 números por medio del método de números cuadrados, hallando a su vez la moda de los mismos.

Solución: La solución se presenta en el siguiente link en Excel:

https://spreadsheets.google.com/ccc?key=tJUHi4Yk6ZnTnPVuvXMIxzQ&hl=en#gid=0

Fuente: COSS BU, Raúl Simulación un enfoque práctico. Limusa Noriega Editores. Pág 20-24.

¿Qué es la SIMULACIÓN?

La simulación es una técnica para analizar y estudiar sistemas complejos.  Nos permite reunir información pertinente sobre el comportamiento del sistema porque ejecuta un modelo computarizado.

Los datos recopilados se usan para diseñar el sistema. Según WINSTON (1994) se puede definir a la Simulación como la técnica de imita el funcionamiento de un sistema del mundo real cuando evoluciona en el tiempo. La simulación no es una técnica de optimización. Más bien es una técnica para estimar las medidas de desempeño del sistema modelado.

Un modelo de simulación comúnmente toma la forma de un conjunto de hipótesis acerca del funcionamiento del sistema, expresado como relaciones matemáticas o lógicas entre los objetos de interés del sistema. En contraste con las soluciones matemáticas el proceso de simulación incluye la ejecución del modelo en una computadora, que genera muestras representativas de las mediciones del desempeño, como un experimento de muestreo acerca del sistema real cuyos resultados son puntos de muestra.

SIMULACIÓN: Ventajas y Desventajas

Ya que la simulación es en muchas ocasiones una herramienta apropiada de análisis, es preciso considerar las ventajas y desventajas de su utilización.

Ventajas

1.      Una vez construido, el modelo puede ser modificado de manera rápida con el fin de analizar diferentes políticas o escenarios.

2.      Generalmente es menos costoso mejorar el sistema vía simulación, que hacerlo directamente en el sistema real.

3.      Es mucho más sencillo comprender y visualizar los métodos de simulación que los métodos puramente analíticos.

4.      Los métodos analíticos se desarrollan casi siempre, para sistemas relativamente sencillos donde suele hacerse un gran número de suposiciones o simplificaciones, mientras que con los modelos de simulación es posible analizar sistemas de mayor complejidad o con mayor

5.      En algunos casos, la simulación es el único medio disponible para lograr una solución.

6.      Es un proceso relativamente eficiente y flexible.

7.      Puede ser usada para analizar y sintetizar una compleja y extensa situación real, pero no puede ser empleada para solucionar un modelo de análisis cuantitativo convencional.

8.      Los modelos de simulación se estructuran y nos resuelve en general problemas trascendentes.

9.      Los directivos requieren conocer como se avanza y que opciones son atractivas; el directivo con la ayuda del computador puede obtener varias opciones de decisión.

10.  La simulación no interfiere en sistemas del mundo real.

11.  La simulación permite estudiar los efectos interactivos de los componentes individuales o variables para determinar las más importantes.

12.  La simulación permite la inclusión de complicaciones del mundo real.

13.  Permite la experimentación en condiciones que podrían ser peligrosas o de elevado coste económico en el sistema real.

Desventajas

1.      Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrar "soluciones óptimas", lo cual repercute en altos costos.

2.      Es difícil aceptar los modelos de simulación.

3.      La solución de un modelo de simulación puede dar al analista un falso sentido de seguridad.

1.      Un buen modelo de simulación puede resultar bastante costoso; a menudo el proceso de desarrollar un modelo es largo y complicado.

2.      La simulación no genera soluciones óptimas a problemas de análisis cuantitativos, en técnicas como cantidad económica de pedido, programación lineal o PERT. Por ensayo y error se producen diferentes resultados en repetidas corridas en el computador.

3.      Los directivos generan todas las condiciones y restricciones para analizar las soluciones. El modelo de simulación no produce respuestas por si mismo.

4.      Cada modelo de simulación es único. Las soluciones e inferencias no son usualmente transferibles a otros problemas.

5.      Siempre quedarán variables por fuera y esas variables (si hay mala suerte) pueden cambiar completamente los resultados en la vida real que la simulación no previó… en ingeniería se “minimizan riesgos, no se evitan”.

Fuente: Azarang M., Garcia E. SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE MODELOS ESTOCÁSTICOS.  Mc. Graw Hill. México.

¿Qué es la Experimentación?

La experimentación es una técnica utilizada para encontrar el comportamiento de una variable a partir de diferentes combinaciones de factores o variables de entrada de un proceso, que al cambiar afectan la respuesta. Para entrar a experimentar es necesario pasar primero por el diseño de experimentos, esta técnica busca la manipulación sistemática de las variables de entrada de un proceso para entender el efecto que estas pueden causar en la variable respuesta. Es ampliamente utilizado en las empresas debido a que éste permite visualizar situaciones que pueden suceder a partir de la realización de un proceso. En la industria se utiliza principalmente para buscar el mejoramiento del rendimiento de un proceso, para reducir la variabilidad y permitir que haya un mayor acercamiento a los parámetros de la empresa, para reducir tiempos de procesamiento y reducir costos. Cualquier problema experimental incluye: diseño del experimento y análisis de los datos.

Fuente: “La Experimentación” disponible en:  http://academic.uprm.edu/dgonzalez/6005/Definiciones.pdf

Experimentación: Ventajas y Desventajas

Ventajas

1.      Se requiere una estrecha colaboración entre los estadísticos y el investigador o científicos con las consiguientes ventajas en el análisis e interpretación de las etapas del programa.

2.      Se enfatiza respecto a las alternativas anticipadas y respecto a la pre-planeación sistemática, permitiendo aun la ejecución por etapas y la producción única de datos útiles para el análisis en combinaciones posteriores.

3.      Debe enfocarse la atención a las interrelaciones y a la estimación y cuantificación de fuentes de variabilidad en los resultados.

4.      El número de pruebas requerido puede determinarse con certeza y a menudo puede reducirse.

5.      La comparación de los efectos de los cambios es más precisa debido a la agrupación de resultados.

6.      La exactitud de las conclusiones se conoce con una precisión matemáticamente definida.

Desventajas

1.      Tales diseños y sus análisis, usualmente están acompañados de enunciados basados en lenguaje técnico del estadístico. Sería significativos a la generalidad de la gente, además, el estadístico no debería subestimar el valor de presentarnos los resultados en forma gráfica. De hecho, siempre debería considerar a la representación gráfica como un paso preliminar de un procedimiento más analítico.

2.      Muchos diseños estadísticos, especialmente cuando fueron formulados por primera vez, se han criticado como demasiado caros, complicados y que requieren mucho tiempo. Tales críticas, cuando son válidas, deben aceptarse de buena fe y debe hacerse un intento honesto para mejorar la situación, siempre que no sea en detrimento de la solución del problema.

Fuente: COX D. R. Planning of Experiments. John Wiley and Sons, Inc. New York. 1988.

Tipos de Modelos

1. MODELOS SIMBÓLICOS: Son más específicos que los modelos verbales. Ellos representan un puente útil en el proceso de simbolizar un modelo verbal. Estos aíslan las variables y representan la realidad a través de símbolos, los que tienen generalmente un carácter matemático o lógico. Estos pueden clasificarse en:

1.1 Modelos matemáticos: Son más rigurosos; se valen de variables cuantitativas, como fórmulas para representar las partes de un proceso o un sistema. También son los más abstractos y a la vez, los más fáciles de usar debido a que todas las relaciones están expresadas con precisión, reduciendo asi la posibilidad de malas interpretaciones por los usuarios del modelo. Estos modelos a su vez se clasifican en:

1.1.1 Modelos cuantitativos: es aquel cuyos principales símbolos representan números. Son los más comunes y útiles en los negocios.

1.1.2 Modelos cualitativos: aquel modelo cuyos símbolos representan en su mayoría a Cualidades no numéricas. Una fuente importante es la teoría de conjuntos.

1.1.3 Modelo Probabilístico: aquellos basados en la estadística y probabilidades (donde se incorpora las incertidumbres que por lo general acompañan nuestras observaciones de eventos reales). Este modelo se clasifica en discreto y continuo.

·         Modelo probabilístico continuos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son graduales. Las variables intervinientes son continuas.

·         Modelo probabilístico discreto: Representan sistemas cuyos cambios de estado son de a saltos. Las variables varían en forma discontinua.

·          Modelo estocástico: Representan sistemas donde los hechos suceden al azar, lo cual no es repetitivo. No se puede asegurar cuáles acciones ocurren en un determinado instante. Se conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribución probabilística. (Por ejemplo, llega una persona cada 20 ± 10 segundos, con una distribución x probable dentro del intervalo).

1.1.4 Modelo Deterministico: corresponde a aquel modelo cuantitativo que no contiene consideraciones probabilísticas.

1.1.5 Modelo Descriptivo: cuando el modelo simplemente describe una situación del mundo real en términos matemáticos, descripción que puede emplearse para exponer una situación con mayor claridad, para indicar como pueden reajustarse o aún para determinar los valores de ciertos aspectos de la situación.

1.1.6 Modelo Optimizador: corresponde al modelo ideado para seleccionar entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la más óptima.

 1.1.7 Modelo estático: Utilizados para representar sistemas cuyo estado es invariable a través del tiempo. El modelo estático puede ser:

·         Modelo numérico: Se tiene el comportamiento numérico de las variables intervinientes. No se obtiene ninguna solución analítica.

·         Modelo analítico: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el sistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de ecuaciones).

1.1.8 Modelo dinámico: Utilizados para representar sistemas cuyo estado varía con el tiempo. Estos pueden ser:

·         Modelo numérico: Se tiene el comportamiento numérico de las variables intervinientes. No se obtiene ninguna solución analítica.

·         Modelo analítico: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el sistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de ecuaciones).

1.2. Modelos verbales: Explicación con palabras de lo fundamental de una realidad.

2. MODELOS MENTALES: Son un conjunto de conceptos que conforman la estructura mental a través de la cual percibimos el mundo exterior y las experiencias personales.

Este conjunto de conceptos es el producto de la enseñanza, los patrones culturales, la experiencia y el entrenamiento.

3. MODELOS FÍSICOS: Representan la entidad estudiada en cuanto a su apariencia y, hasta cierto punto, en cuanto a sus funciones. Las actividades del sistema se reflejan en las leyes físicas que subyacen el modelo. Estos se clasifican en:

3.1.1 Modelo icónico: Tienen aspecto de realidad pero no se comportan efectivamente en la forma real.

3.1.2 Modelo analógico: Exhiben el comportamiento real de la entidad estudiada pero no tiene el mismo aspecto.

3.1.3 Modelo digital: El objeto se codifica en cifras organizadas en estructura de datos. Las relaciones de correspondencia son matemáticas, estadísticas o geométricas.

3.1.4 Modelo estático: Corresponden a los modelos a escala así como los modelos icónicos.

3.1.5 Modelo dinámico: Corresponden a los modelos analógicos.

Fuente: “Introducción a la Simulación”. Disponible en < http://wwwdi.ujaen.es/asignaturas/computacionestadistica/pdfs/tema1.pdf>.

Medidas de Tendencia Central

Las medidas estadísticas pretenden "resumir" la información de la "muestra" para poder tener así un mejor conocimiento de la población.  

Las medidas de tendencia central corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos. (Ellas permiten analizar los datos en torno a un valor central). Entre éstas están la media aritmética, la moda y la mediana.

1.      MEDIA ARITMÉTICA

Es la medida que reduce un conjunto de datos, siendo juzgados los n números en un mismo valor.

Esta medida se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos.

X = Suma de todos los valores   =   x₁ + x₂ + x₃ + … + x_n

              Número total de datos                           n

 Ejemplo

 En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas:  4, 7, 7, 2, 5, 3

            n = 6 (número total de datos)

X = 4 + 7 +7 +2 + 5 +3  =  28  =  4,8

                      6                     6

La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio.

2.      MODA (Mo)

Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos, o sea, cual se repite más.

Ejemplo:

Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil.

                  5, 7, 3, 3, 7, 8, 3, 5, 9, 5, 3, 4, 3

La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3)

3.      MEDIANA (med)

Es una medida de posición. Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados.

Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:

- Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos.

- Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).

Ejemplo:

Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2

Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene: 

                                                           1, 2, 4,  5  , 8, 9, 10

El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.

Fuente: “Medidas Estadísticas” disponible en: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/EstadisticaMediaMedianaModa.htm